Metode Rejection untuk Membangkitkan Variabel Acak Kontinyu

Misalkan kita memiliki sebuah metode pembangkit bilangan acak dengan fungsi densitas $latex g(x) $. Kita dapat menggunakan fungsi tersebut sebagai basis/dasar untuk membangkitkan variabel acak dari distribusi kontinyu lain yang memiliki fungsi densitas $latex f(x) $ dengan cara membangkitkan Y dari g dan kemudian menerima nilai yang dibangkitkan ini dengan sebuah proporsi probabilitas terhadap $latex f(Y)/g(Y) $

Secara lebih spesifik, misalkan $latex c $ adalah sebuah konstanta sedemikian sehingga

$latex huge frac{f(y)}{g(y)}leq c $ untuk semua y

Berikut adalah penggambaran langkah-langkahnya :

Langkah 1 : Bangkitkan Y yang memiliki densitas g
Langkah 2 : Bangkitkan sebuah bilangan acak U
Langkah 3 : Jika $latex U leq frac{f(Y)}{c g(Y)}leq c, jadikan X = Y $. Lainnya, kembali ke langkah 1

Contoh 5d :
Gunakanlah metode Rejection untuk membangkitkan variabel acak yang memiliki fungsi densitas sebagai berikut :

$latex f(x) = 20 x (1 – x)^3, : : : : 0<x<1 $

Karena variabel acak ini (dimana berdistribusi beta dengan parameter 2,4) berkumpul di internal (0,1), mari kita ambil metode rejection dengan

$latex g(x)=1, ; ; 0<x<1 $

Untuk menentukan konstanta c sedemikian sehingga $latex frac{f(y)}{g(y)}leq c $, kita gunakan kalkulus untuk menemukan nilai maksimum dari

$latex frac{f(x)}{g(x)} = 20 x (1 – x)^3 $

Diferensiasi atau turunan pertama dari kuantitas ini adalah :

Dengan menjadikan persamaan ini sama dengan 0 akan menunjukkan :

jadi nilai maksimum dicapai bila x = 1/4 dan dengan demikian :

$latex frac{f(x)}{g(x)} = 20left ( frac{1}{4} right )left ( frac{3}{4} right ) ^3 = frac{135}{64}equiv c $

Karenanya

$latex frac{f(x)}{c g(x)} = frac{256}{27}x left ( 1 – x right )^3 $

Karenanya prosedur rejection menjadi sebagai berikut :

Langkah 1 : Bangkitkan bilangan acak $latex U_1 dan U_2 $.
Langkah 2 : $latex jika U_2 leq frac{256}{27} U_1 left ( 1 – U_1 right )^3 $, berhenti dan jadikan $latex X = U_1 $. Lainnya kembali ke langkah 1.

Rata banyak nya langkah 1 dilakukan adalah $latex large c = frac{135}{64} approx 2.11$.

Variabel Acak

Ketika sebuah percobaan dilakukan, biasanya hasil kejadian yang diperoleh berupa ‘nama kejadian’ seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dan mati dan lain sebagainya. Informasi kejadian yang berbentuk seperti demikian itu belum dapat kita gunakan dalam perhitungan matematis.

Oleh karenanya agar kita bisa olah lebih lanjut, kita harus mengubahnya menjadi suatu bentuk kuantitatif berupa nilai numerik yang menjelaskan hasil percobaan/kejadian tersebut. Nilai kuantitatif yang menjelaskan hasil percobaan/kejadian ini dikenal dengan istilah variabel acak (random variables).

Misalkan ada sebuah percobaan yang memiliki outcome (semua kejadian yang mungkin muncul dalam percobaan) berupa benar dan salah. Maka ketika benar diwakilkan dengan angka 1 dan salah diwakilkan dengan angka 0, maka  0 dan 1 adalah numerik yang mewakili kejadian random benar dan salah yang pada akhirnya disebut sebagai variabel acak. Jadi boleh dikatakan bahwa variabel acak adalah sebuah fungsi yang memetakan kejadian yang ada di alam menjadi bilangan numerik. Semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu percobaan kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang dinotasikan dengan S.

Contoh :

Lemparlah sebuah uang logam yang memiliki sisi atas (kejadian muncul sisi atas kita sebut A), dan sisi bawah (kejadian muncul sisi atas kita sebut B) sebanyak 10 kali. Maka :

  • Ruang sample perobaan ini adalah S = {AABBABABAB, … } meliputi semua konfigurasi dari A dan B.
  • Misalkan Variabel Acak X adalah banyaknya nya Sisi Atas yang muncul, \(X:S \to \Re \) atau dalam contoh ini \(X:S \to \left \{ 0,1, \cdots,10 \right \} \)

Fungsi distribusi kumulatif atau biasanya disingkat fungsi distribusi saja, F dari variabel acak X  untuk sembarang bilangan riil x  ditentukan dengan :

\(F(x)= P\left \{ X\leq x \right \}\)

Sebuah Variabel Acak disebut diskrit jika variabel acak ini terdiri dari sejumlah angka yang terhitung dan terbatas dari nilai-nilai yang mungkin terjadi. Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita tentukan Fungsi Masa Probabilitas (Probability Mass Function) p(x) dengan :

\(p(x)= P\left \{ X= x \right \}\)

Jika X adalah variabel acak diskrit yang memiliki nilai yang mungkin muncul \( x_1, x_2,\cdots\), maka karena X harus berasal dari salah satu nilai-nilai tersebut, kita akan memperoleh :

\(\sum_{i=1}^{\infty }p(x_i)=1\)

Contoh : Misalkan X bernilai dari salah satu 1,2 atau 3. Jika

\(p(1)=\frac{1}{4},\; \; \; p(2)=\frac{1}{3} \)

maka, karena \(p(1)+p(2)+p(3)=1\) , akan menghasilkan \(p(3)=\frac{5}{12}\)